11 června, 2007 
LuFa Dnešní hádanku jsem se rozhodl čerpat z komentáře k hádance minulé (Hádanka XIV – Určete kolik je bratrům let). Jako komentář mi ji zaslal čtenář podepsaný jako marek2000. Bohužel více o sobě neuvedl a tak na něj nemám zpětnou vazbu.
Hádanka zní:
Máte 2 celá čísla větší než 1 a menší než 100. (Tj. 2-99).
Pan A zná jejich součin a pan B zná jejich součet. Panové A a B se potkají a mají následující rozhovor:
A: Já nevím, jaká ta čísla jsou.
B: Já vím, že nevíš, jaká ta čísla jsou.
A: Aha, tak teď už vím, jaká ta čísla jsou.
B: Tak teď už vím taky, jaká ta čísla jsou.
Tolik zadaní z komentáře.
Takto položená hádanka se mi zdá velmi zajímavá. Stejně jako vy (nebo většina z vás) na ní zatím neznám odpověď. Taktéž zatím ani 100% nemohu zaručit úplnou správnost zadání a tak nevylučuji, že se zadání ještě v průběhu řešení trochu změní.
Třeba, ale zůstane jak je. Skutečně nevím. Zatím mi cosi říká, že tato hádanka bude určitě patřit k těm složitějším.
Takže stejně jako vy i já budu nyní ve volných chvílích nad hádankou přemýšlet a řešit.
Vodítko k řešení minulé hádanky: Hádanka XIV – Určete kolik je bratrům let
Protože se ne každému z vás podařilo správně vyřešit minulou hádanku, v které se nejedná o žádný chyták, nýbrž pouhou matematiku, poskytnu vám k ní zatím jen nápovědu. Věřím, že s ní ji už vyřešíte.
Pokud hádanku nevyřešíte ani s touto nápovědou, pošlete mi mail, zašlu vám k níc celé řešení.
Tak tedy nápověda. V úvodu hádanky dal učitel žáku vodítko, že součin věků všech bratrů je 36. Aby žák určil věk každého bratra, musel si udělat rozklad čísla 36 na součin prvočísel.
Tj. věk prvního bratra x věk druhého bratra x věk třetího bratra = 36.
Když toto žák udělal (při tom ještě znal počet svítících lamp v ulici), nebyl schopen věk bratrů určit.
Důvodem bylo, že mu jako součin věků bratrů vyšlo v některém případě více možností.
Takže řekl učiteli, že i po tom, co si číslo 36 rozložil na součin, není schopen věk bratrů určit.
Učitel dal tedy žáku informaci, že jeden z bratrů je nejstarší.
Správné řešení tedy je to, kde dva bratři dvojčata mají staršího bratra. Informace, že se bratr jmenuje Karel je k řešení nepodstatná. Podstatné, je, že se jedná o bratra nejstaršího.
Samozřejmě že i mezi dvojčaty nalezneme nejstarší dvojče, ale toto v hádance neuvažujeme. Prostě dvojčata jsou stejně stará :-).
Zveřejněno v
Dané dve čísla sú 4 a 13. Pán A má k dispozícii ich súčin = 52 a pán B má k dispozícii ich súčet = 17. Trápil som sa nad tým pár hodín a riešil som to v exceli. Ale ten pocit pri vyriešení bol božský….
Tuhle hádanku jsem dostal před lety jako student, ale řešení neznám. Možná jde vyřešit hrubou silou (Excel, poč. program), což jsem kdysi zkoušel, nějaký výsledek dostal, ale už si nepamatuju a ani nevím, jestli to bylo dobře. Můžete mi někdo prosím poslat řešení na mail lebeda @ comarr.cz? Moc děkuju.
Řešení dvojice (13,4) a dá se to docela hezky řešit ručně:-), stačí z každého tvrzení pochopit, jaké vlastnosti tato čísla misejí mít a pak si uvědomit jak musí tato čísla vipadat, aby tyto vlastnosto měly.
(omlouvám se za ten pravopis:-) )
Jestli někdo bude chtít, dodám popis toho (asi) nejefektnějšího řešení, s papírem a tužkou by na něj měla stačit hodina, maximálně dvě (což je relativně málo na to, že je třeba vyřadit skoro 10000 možných dvojic:-), navíc je univerzální pro libovolnou horní hranici množiny).
Popis řešení: V první řadě to musejí být prvočísla (A je nesmí vědět), dále nesmí být součtem žádných dvou prvočísel (B musí vědět, že A nebude vědět), stačí vyřadit všechna sudá čísla,dá se totiž snadno dokázat, že všechna sudá čísla až k určité dostatečně velké horní hranici se rovnají součtu nějakých dvou prvočísel, a potom u lichých čísel ověřit, jestli se nerovnají 2+nějaké prvočíslo. Tak dostanu množinu potenciálních součtů, je ale výhodnější takhle prověřit až čísla, která zbydou po kroku 2, tj. tenhle krok prohodit s následujícím krokem, výsledek to neovlivní (průnik je komutativní) a ušetříte si tak spoustu zbytečné práce s přičítání dvojky ke každému prvočíslu ze zadaného intervalu. Z dalšího tvrzení (A může jednoznačně určit právě jeden rozklad na činitele splňující první 2 podmínky) je zřejmé, že jedno číslo musí být prvočíslo a druhé (vyšší než první) mocnina dvou, protože když spočítám součin těchto dvou čísel, jen jeden jeho rozklad na činitele bude mít lichý součet (a to rozklad prvočíslo*zbytek), když vyprůnikuji množinu součtů prvočísel a n+1ních mocnin 2, tak dostanu množinu všech čísel splňující první 3 podmínky. Teď už stačí jen ověřit podmínku 4 (B může jednoznačně určit rozklad na sčítance splňující podmínky 1,2 a 3) a to nejlépe tak, že si vytvořím tabulku zbývajících potenciálních součtů a to nejlépe tak, že si do řádku vypíšu všechny vyšší mocniny 2 a do sloupce prvočísla a do tabulky jejich součty, pokud se nějaký součet vyskytne v tabulce vícekrát, vyškrtnu všechny dvojice rovnající se tomuto součtu. Tím ale nejsem u konce. Ještě jsem neupozornil, že i 2 je prvočíslo přestože je sudé a může tedy s jiným prvočíslem dát lichý součet. Původní podmínka nebyla ekvivalentní, je třeba ještě u součtů zbývajících pár čísel ověřit, jestli pro součin jen jednoho jejich rozkladu na sčítance platí, že není součinem více než jedné dvojice čísel (neboli existuje jen jeden rozklad na činitele takové), jejichž součet není roven součtu dvou prvočísel, tj. pro součiny všech ostatních (to je třeba kromě prvního nalezeného) rozkladů na sčítance (stačí se omezit na rozklady tvaru n+1ní mocnina 2+zbytek) musí existovat alespoň dva rozklady na činitele takové, že jejich součet je lichý a současně po odečtení dvojky od něj nesmí vyjít prvočíslo. Snad jsem v popisu neudělal nějakou chybu:-), čím víckrát to po sobě čtu, tím méně tomu rozumím:-), ale pokut si dobře pamatuji, tímhle postupem jsem kdysi došel ke správnému výsledku.
Omlouvám se, všiml jsem si několika překlepů, možná je jich tam víc, ale nemám sílu to po sebě přečíst víc než jednou:-), tady nová verze možného správného postupu řešení:
V první řadě to musejí být prvočísla (A je nesmí vědět), dále jejich součet nesmí být součtem žádných dvou prvočísel (B musí vědět, že A nebude vědět), stačí vyřadit všechna sudá čísla,dá se totiž snadno dokázat, že všechna sudá čísla až k určité dostatečně velké horní hranici se rovnají součtu nějakých dvou prvočísel, a potom u lichých čísel ověřit, jestli se nerovnají 2+nějaké prvočíslo. Tak dostanu množinu potenciálních součtů, je ale výhodnější takhle prověřit až čísla, která zbydou po kroku 2, tj. tenhle krok prohodit s následujícím krokem, výsledek to neovlivní (průnik je komutativní) a ušetříte si tak spoustu zbytečné práce s přičítání dvojky ke každému prvočíslu ze zadaného intervalu. Z dalšího tvrzení (A může jednoznačně určit právě jeden rozklad na činitele splňující první 2 podmínky) je zřejmé, že jedno číslo musí být prvočíslo a druhé (vyšší než první) mocnina dvou, protože když spočítám součin těchto dvou čísel, jen jeden jeho rozklad na činitele bude mít lichý součet (a to rozklad prvočíslo*zbytek), když vyprůnikuji množinu čísel splňující podmínku 2 a množinu součtů n+1ních mocnin 2 + nějaké prvočíslo, tak dostanu množinu všech součtů čísel splňujících první 3 podmínky. Teď už stačí jen ověřit podmínku 4 (B může jednoznačně určit rozklad na sčítance splňující podmínky 1,2 a 3) a to nejlépe s pomocí tabulky, například tak, že si do řádku vypíšu všechny vyšší mocniny 2 a do sloupce prvočísla a do tabulky jejich součty, pokud se nějaký součet (samozřejmě z množiny součtů splňujících první 3 podmínky) vyskytne v tabulce vícekrát, vyškrtnu všechny dvojice rovnající se tomuto součtu. Tím ale nejsem u konce. Ještě jsem neupozornil, že i 2 je prvočíslo přestože je sudé a může tedy s jiným prvočíslem dát lichý součet. Původní podmínka nebyla ekvivalentní, je třeba ještě u součtů zbývajících pár čísel ověřit, jestli pro součin jen jednoho jejich rozkladu na sčítance platí, že není součinem více než jedné dvojice čísel (neboli existuje jen jeden rozklad na činitele takové), jejichž součet není roven součtu dvou prvočísel, tj. pro součiny všech ostatních (to je třeba kromě prvního nalezeného) rozkladů na sčítance (stačí se omezit na rozklady tvaru n+1ní mocnina 2+zbytek) musí existovat alespoň dva rozklady na činitele takové, že jejich součet je lichý a současně po odečtení dvojky od něj nesmí vyjít prvočíslo.
Des bes. 4 a 13 neni spravne reseni.
Vysvetleni jsem prestal cist uz po prvni vete:
„V první řadě to musejí být prvočísla (A je nesmí vědět)“
Snad: A nevi => Soucin NENI prvocislo
atd …
Mr.Pekos si nastavil spatny horni limit veku. Pro dane zadani je reseni 4,13 spravne. Pokud by ovsem cisla byla omezena horni hranici <= 50 (misto <= 99), nemela by takto zadana uloha reseni.
Jinak co pise NoNomino, tak souhlasim – des bes.